میهمان گرامی ، خوش آمدید . عضــویت



رتبه موضوع:
  • 1 رای - 5 میانگین
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

خلاصه امار :مطالعه گروهی امار و ریاضی کنکور انفورماتیک 92

#1
شاخص های مرکزی مد و میانه وميانگين

کمیت هایی وجود دارند که می توانند به صورت کمی جامعه را معرفی نمایند بعضی از آنها محل تمرکز داده ها را معرفی می کنند که به آنها شاخص های مرکزی می گوییم .

مهم ترین شاخص های مرکزی عبارتند از : مد، میانه و میانگین



مد:

مد داده ای است که بیشترین فراوانی را دارد.
مثال : مد داده های 15، 11، 9، 8، 3، 5، 3 کدام است؟
پاسخ : مد داده ها عدد 3 می باشد .
مثال : مد داده های 11، 10، 7 کدام است؟
پاسخ : مد وجود ندارد چون تکرار تمام داده ها یکسان است .
مثال : مد داده های 7، 6، 5، 4، 4، 3، 3، 0 کدام است؟
پاسخ : مد این داده ها 3 و 4 می باشد چون هر دو، 2 بار تکرار شده اند

میانه:

پس از مرتب کردن داده ها مقداری را که تعداد داده های بعد از آن با تعداد داده های قبل از آن برابر است میانه می نامیم.

روش پیدا کردن میانه:



1-داده ها را مرتب کنیم



2-اگر تعداد داده ها فرد باشد داده ای که در وسط قرار می گیرد برابر میانه است.



3-اگر تعداد داده ها زوج باشدنصف مجموع دو داده ای که در وسط قرار گرفته اند برابر میانه است



نکته:

میانه نیمه اول داده هارا چارک اول یاQ1 و میانه نیمه دوم داده ها را چارک سوم Q3 می نامند.
مثال : میانه داده های زیر را معلوم کنید .
7، 10، 11، 4، 16، 17، 12، 3، 1(الف
پاسخ الف : ابتداد داده ها را مرتب می کنیم . 17، 16، 12، 11، 10، 7، 4، 3، 1
تعداد داده ها n=9 می باشد پس داده های پنجم میانه است یعنی میانه عدد 10 می باشد .
10، 8، 5، 3، 2، 1 (ب
4= = میانه

ميانگين حسابي

كه آن را ميانگين نيز مي گويند متداول ترين اندازه مركزي مي باشد كه از رابطه به دست مي‌آيد.


(تعداد اندازه ها)/ (مجموع اندازه ها) =
ميانگين
ميانگين محاسبه شده براي داده هاي نمونه را با علامت [عکس: average.gif]و ميانگين جمعیت را با علامت[عکس: moo.gif] نشان مي‌دهند. به عبارت ديگر اگر اندازه نمونه انتخاب شده برابر با n و اندازه جمعیت برابر با N (جمعیت محدود) و اندازه صفت عضـو[عکس: ai.gif]ام جمعیت با نشان داده شود، آنگاه
[عکس: f12.gif]
(معمولاً در بررسي هاي آماري[عکس: moo.gif]مجهول است)


مثال:
میانگین حسابی چهار داده 3، 5، 7 و 2 عبارت است از:

[عکس: name1.gif]
اگر داده هاي جمع آوري شده در يك جدول توزيع فراواني در [عکس: ka.gif]طبقه تنظيم شده باشند، ميانگين از رابطه‌هاي

[عکس: f13.gif] ( براي جدول فراواني رده‌بندي شده )
( براي جدول فراواني طبقه‌بندي شده )

كه در آن [عکس: x_i.gif] مقدار رده، [عکس: f_i.gif] فراواني و [عکس: m_i.gif] مركز طبقة[عکس: ai.gif]ام جدول است.


مثال:
جدول زیر توزیع بیماران مراجعه کننده به یک درمانگاه را بر حسب تعداد دندانهای فاسد آنها نشان می دهد.
میانگین حسابی این داده ها را محاسبه نمایید.





4 3 2 1 0 دندانهاي فاسد شده [عکس: x_i.gif]

8 9 14 5 10 بيماران [عکس: f_i.gif]
=46/(0*10+1*5+2*14+3*9+4*8)

مثال:
جدول فراوانی سنی نوزادان در یک بیمارستان در جدول زیر تنظیم شده است. میانگین سن این نوزادان عبارت است از:





11-8 7-4 3-0 فاصله سنی بر حسب
10 20 10 فراواني [عکس: f_i.gif]

9.5 5.5 1.5 مركزطبقه [عکس: m_i.gif]

=40/(10*1.5+20*5.5+10*9.5)
مقدار ميانگين محاسبه شده با استفاده از جدول فراواني طبقه بندي با مقدار واقعي ميانگين تفاوت دارد، زيرا در محاسبه، مركز هر طبقه به جاي كل داده هاي آن طبقه در نظر گرفته شده است (يك يكنواختي رد اينجا فرض مي شود كه با حالت واقعي آن تفاوت چنداني ندارد و قابل چشم پوشي است).

دوستان عزيز ضرب اعداد جدول بابا اشتباهه من ويرايش ميكنم ولي باز اشتباه نشون داده ميشه ضرب به صورت
10*1.5+20*5.5+10*9.5
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط AySu ، hadi ، مهران ، MaN!a ، shahla_r ، xxx ، hooriaty ، Harika ، فرزانه کریمی ، _narjes ، nazeri
#2

محاسبه میانه برای داده های پیوسته:



مقدار ميانه را نيز مي توان با استفاده از جدول فراواني محاسبه نمود
براي بدست آوردن ميانه با استفاده از جدول فراواني قرمهاي زير را بر مي‌داريم

١- مقدار[عکس: x_2.gif] را محاسبه نموده با ستون فراواني تجمعي جدول مقايسه و اولين طبقه يا رده اي كه فراواني تجمعي آن بزرگتر يا مساوي [عکس: x_2.gif] است را تعيين و آن را طبقه يا رده ميانه مي ناميم.



٢- چنانچه از جدول فراواني رده بندي شده استفاده مي كنيم اندازه ميانه همان رده ميانه است و چنانچه از جدول فراواني طبقه بندي استفاده مي شود ميانه تقريبي از رابطه زير بدست مي آيد.
[عکس: f18.gif]
كه در اين رابطه
حد طبقه پايين طبقه ميانه=[عکس: lmd.gif]
فراواني تجمعي طبقه قبل از طبقه ميانه= [عکس: rmd.gif]
فراواني طبقه ميانه= [عکس: fmd.gif]
طول طبقه = [عکس: c_equals.gif]

فرمول فوق با فرض يكنواختي در داخل هر طبقه و بر اساس يك تناسب ساده به دست مي آيد.

ميانه نيز مركز هيستوگرام را تعيين مي كند به طوريكه معمولاً نصف داده ها در طرف راست و نصف ديگر در طرف چپ آن قرار مي گيرند.

مزيت ميانه به عنوان يك اندازه مركزي بر ميانگين در اين است كه
ميانه تحت تأثير داده هاي پرت قرار نمي گيرد،
اما از طرف ديگر با توجه به اينکه ميانه از اندازه همه داده ها به دست نمي آيد معيار قابل قبولي براي بسياري از بررسي هاي آماري نيست.



محاسبه نما برای داده های پیوسته:




1-خلاصه کردن داده ها در یک جدول فراوانی



٢- نماینده رده ای را که دارای فراوانی بیشتر می باشد و رده نمایی نامیده می شود را به عنوان نما اختیار می کنیم.
برای دقت بیشتر می توان نما را از فرمول
[عکس: f19.gif]
بدست آورد. در این فرمول نما، مرز پایین رده نمایی، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله قبل از آن، اختلاف فراوانی های نسبی رده نمایی و رده بلافاصله بعد از آن و طول رده می باشد



ميانگين وزني ـ



در برخي از داده ها براي محاسبه ميانگين حسابي، به دليل اينكه مقادير مشاهده شده ارزش هاي متفاوت دارند لازم است به هر مشاهده وزني را اختصاص داده و سپس ميانگين داده هاي وزن داده شده را محاسبه نمود.
ميانگين وزني از فرمول زير محاسبه مي شود
[عکس: f27.gif]
ميانگين هندسي -
ميانگين هندسي معيار مركزي مناسب براي داده هايي از نوع درصد، نسبت، نرخ، شاخص ها و غيره است. براي محاسبه ميانگين هندسي، در صورتی که[عکس: f24.gif] همگی مثبت باشند، از رابطه
[عکس: f33.gif]
استفاده مي شود.
برای محاسبه این میانگین آسانتر است که قبلا لگاریتم آن راحساب کرد. لگاریتم این میانگین برابر است با میانگین حسابی
[عکس: log1.gif]
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط موحديان ، MaN!a ، Roya-A ، hooriaty ، Harika ، hadi
#3
شاخص هاي پراكندگي
لزوم استفاده از پراکندگی
ممکن است توزیع هایی وجود داشته باشد که میانگین های مساوی داشته باشند اما پراکندگی آن ها در اطراف میانگین اختلاف داشته باشد

و زماني مي‌توان توزيع داده‌ها را دقيقاً توصيف نمود كه علاوه بر شناخت معيار مناسبي براي مركزيت آن، معياري را هم براي پراكندگي آنها تعيين
نمود .کاربرد شاخص های پراکندگی تنها برای داده های فاصله ای و نسبتی است.


شاخص های پراکندگی
میزان پراکندگی یا تغییراتی را که در بین نمره ها وجود دارد نشان می دهند

شاخص های پراکندگی
دامنه تغییرات

انحراف چارکی

واریانس

انحراف استاندارد

دامنه تغییرات

ساده ترین شاخص پراکندگی مقدار آن در یک توزیع فراوانی برابر است با تفاضل بین بزرگترین و کوچکترین عدد دامنه تغييرات را با R نشان ميدهيم
اشکالات دامنه تغییرات
توصیف نمره ها به صورت حقیقی * چون فقط تفاضل بین کوچکترین
و بزرگترین رو نشون می ده

یک شاخص پایدار پراکندگی نیست زیرا مقدار آن با تغییر یک نمره (کوچکترین یا بزرگترین) تغییر می کند

مقياس محاسبه ی دامنه تغییرات

مقیاس فاصله ای


انحراف چارکی

انحراف چارکی عبارت است از: نصف فاصله بین چارکهای اول و سوم و از طریق فرمول زیر بدست می آید:
ابتدا اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب می کنیم.
محاسبه میانه یا چارک دوم اعداد
محاسبه میانه اعداد سمت چپ
محاسبه میانه اعداد سمت راست

تعريف چارک
نقاطی بر روی مقیاس اندازه گیری که کلیه مشاهده ها یا نمره ها را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کنند

چارک اول
Q1 نقطه ای که 25 درصد نمره ها را از پایین جدا می کند به آن نقطه 25 درصد هم گفته می شود

چارک دوم
Q2 میانه توزیع را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند

چارک سوم
Q3 نقطه ای که سه چهارم نمره ها در زیر آن و بقیه در بالای آن واقع شده اند به آن نقطه 75 درصد هم گفته می شود

دامنه تغییرات بین چارک ها
فاصله بین چارک اول و سوم



تفاوت انحراف چارکی با دامنه تغییرات

ثبات بیشتری دارد خیلی کم تحت تاثیر اختلاف های تصادفی بین نمونه های انتخاب شده قرار می گیرد


شرایطی كه باید از انحراف چارکی استفاده کرد

در شرایطی که تاثیر نمره های خیلی بزرگ یاخیلی کوچک مد نظر نباشد مثل شرایط استفاده از میانه
مقیاس برای محاسبه انحراف چارکی

مقیاس فاصله ای


میانگین انحرافات

[عکس: a29.jpg]



میانگین انحرافات که آن را با.M.D نشان می دهند به صورت زیر محاسبه می شود.

[عکس: 020.bmp]
میانگین انحرافات یعنی میانگین انحراف هر یک از داده ها نسبت به مقدار متوسط داده ها
پس میانگین انحرافات برای سه عدد 300، 200 و 100 برابر خواهد بود با:

[عکس: 021.bmp]
واریانس (Variance)
[عکس: a10.jpg]




مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل و یا مشاهده شده با *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* محاسبه می‌شود. در مقایسه با *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* می‌توان

گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش

شده‌اند.واریانس را با S به توان 2 نشان می دهند به صورت زیر محاسبه می شود:


[عکس: eb495130bc42fc75849689006beacc59.png]

در این رابطه [عکس: 34fd2436571a41ac9080dd4e238e72a5.png]
*شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:
[عکس: 68e7b0f7d31cb0b5bff021be00562bcf.png]
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای واریانس نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از واریانس تصحیح شده استفاده می کنیم که بصورت زیر تعریف می گردد
[عکس: 1412f8320035cfa129ada53beff9e966.png]


انحراف معیار (
*شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید*)
عددی است که نشان می دهد تا چه فاصله ای از
*شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* داده ها، هنوز واریانس وجود دارد. برای محاسبه ی انحراف معیار کافی اُست ریشه دوم (*شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید*) واریانس را حساب کنیم
[عکس: f38c64ef7642d64cfe5877a920437e62.png]

اصولا در فرمول انحراف معيار به جاي يك تقسيم برN-1 يك تقسيم بر N قرار ميدهيم

خطای استاندارد


برای محاسبه خطا (error bar) اگر انحراف معیار را بر
*شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* تعداد داده ها تقسیم کنیم مقدار خطا بدست می آید
[عکس: e703ef732adca8ad7d4f77858daece71.png]


ضریب تغییرات (Coefficient of variation)
از تقسیم انحراف معیار بر میانگین توزیع مورد نظر بدست می آید كه با درصد نيز بيان ميشود:

[عکس: e000afa32e29c0a53e473b65b5b60732.png] يا[عکس: cv.jpg]
این مقدار زمانی تعریف شده است که میانگین صفر نباشد.

به عنوان مثال اگر متوسط تعداد ضربان قلب تعدادی از افراد 80 و انحراف معیار تعداد ضربان قلب آنها 4 باشد در این حالت ضریب تغییرات تعداد ضربان قلب این افراد برابر خواهد بود با:

[عکس: 027.bmp]
حال اگر متوسط درجه حرارت بدن همین افراد 37 و انحراف معیار آنها 74/0 باشد در این حالت ضریب تغییرات درجه حرارت این افراد برابر است با:
[عکس: 028.bmp]

برای مثال، اگر بخواهیم پرکندگی قد و وزن در جامعه مردان را بسنجیم، ضریب تغییرات معیار مناسبی است.

نكته : هرقدر ضریب تغییرات کوچکتر باشد، ویژگی جامعه بهتر ارزیابی می گردد.




[عکس: down-up.gif] اتمام فصل 2[عکس: down-up.gif]
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط Roya-A ، MaN!a ، موحديان ، hooriaty ، Harika ، _narjes ، hadi ، health_sa
#4
فصل 3 احتمالات
مفاهیم اولیه: فضای نمونه : اگر نتیجه آزمایشی معین نباشد ، اما همه ی برآمدهای ممکن آن از قبل قابل پیش بینی باشد، مجموعه ی همه آنها را فضای نمونه ای نامیم و آن را معمولا با S وهمچنین برآمدها را با e1,e2,… e: نشان میدهیم:
بنابراین فضای نمونه ایS:
و برآمدها e1,e2,… e:
پیشامد : زیر مجموعه ای از فضای نمونه ای را یک پیشامد نامیم
A,B,…
توجه شودکه: برآمدها (e) می توانند به صورت یک نقطه تنها یا دو تایی مرتب ویا ... n تایی مرتب باشند :به مثالهای زیر توجه شود.
مثال :
[عکس: 250239%20(1).jpg]
5- فرض کنید آزمایشی دردومرحله انجام شود.ابتدا سکه ای پرتاب می شود.اگر خط بیاید، تاس پرتاب می شود واگر شیر بیاید ، سکه دوباره پرتاب می شود.فضای نمونه ای را تعریف کرده وپیشامدهای زیر را تعریف کنید .
الف. آمدن شیردراولین پرتاب
ب. آمدن عددی فرد وقتی تاس پرتاب شود .
[عکس: 250239%20(2).jpg]
6- فرض کنید سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا اولین شیر ظاهر شود .فضای نمونه ای را مشخص کنید .
حل : این فضای نمونه ای نامتناهی ولیکن شمارا است . چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه ای گسسته نامیم .
S={H,TH,TTH,TTTH,..}
اما مثال های 1 تا 5 ، دارای فضای نمونه ای متناهی می باشند .
[عکس: 250239%20(3).jpg]
این فضای نمونه ای ، یک فضای پیوستار است . به عبارت دیگر چنین فضای نمونه ای را ، فضای نمونه از نوع پیوسته گوییم .فضای نمونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها ،اندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس های پیوسته اندازه گیری می شوند . مانند : طول ، دما و ...می توانیم بر اساس پیشامد ها ، ترکیبی از پیشامد ها را داشته باشیم.
ترکیب پیشامدها
[عکس: 250239%20(4).jpg]
[عکس: 250239%20(5).jpg]
7- پیشامد مطمئن : پیش آمدی که یقینا رخ دهد .
8- پیشامد ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ ندهد .
9- تساوی : دو پیشامد E,Fرا برابر گوییم (E=F، هر گاه رخ دادن یکی مستلزم رخ دادن دیگری باشد .
[عکس: 250239%20(6).jpg]
مثال :فرض کنید فرود هواپیماها بر اساس نظام سرویس دهی به ترتیب فرود می باشد . پیشامدهای را به صورت زیر تعریف می کنیم :
منتظر ماندن حداکثر3هواپیما :F منتظر ماندن حداقل2هواپیما : E
منتظر ماندن دقیقا2هواپیما : H در این صورت تعریف کنید:
[عکس: 250239%20(7).jpg]
حل :
پیشامد های زیررا تعریف می کنیم:
الف. پیشامد منتظر ماندن حداکثر3هواپیما
ب. پیشامد منتظر ماندن حداقل4هواپیما
[عکس: 250239%20(8).jpg]
اکنون آماده ایم تا اصول موضوع احتمال را بیان کنیم .
اصول موضوع احتمال فرض می کنیم S فضای نمونه ای یک آزمایش باشد . به هر پیشامد A از S عددی به نام احتمال وقوع A که با نماد p(A) نشان می دهیم ، نسبت داده که در اصول موضوع زیر صدق می کند .
[عکس: 250239%20(9).jpg]
مثال :
سکه ی نااریبی را پرتاب می کنیم . از آن جایی که سکه نااریب است ، بنابراین احتمال آمدن شیر و خط با هم برابر است . در پرتاب این سکه فضای نمونه ای برابر است با : S={H,T}
چون وقوع پیشامدهای {H},{T} با هم برابرند در این صورت گوییم این دو پیشامد هم احتمالند و می نویسیم P({H})=P({T})
از طرفی این دو پیشامد ناسازگارند ، پس :
[عکس: 250239%20(10).jpg]
مثال :
[عکس: 250239%20(11).jpg]
اندازه احتمال قابل قبول باشد .
[عکس: 250239%20(12).jpg]
قضایا : داریم :
[عکس: 250239%20(13).jpg]
[عکس: 250239%20(14).jpg]
نتیجه :
[عکس: 250239%20(15).jpg]
مثال :
فرض کنید 25% مردم یک شهر روزنامه A و 20% روزنامه B و 13% روزنامه C و 10% روزنامه های A,B و 8% روزنامه های A,C و 5% روزنامه های B,C و 4% همه ی روزنامه ها را می خوانند . احتمال این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر انتخاب شود و هیچ یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟
حل :
فرض می کنیم E و F و G به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های A ، B و C باشند . پس پیشامد آن که شخصی حداقل
[عکس: 250239%20(16).jpg]
احتمال شرطي:
فرض کنید دو *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* [عکس: 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png] و [عکس: 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png] در *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* یکسان داده شده اند، در حالی که [عکس: 028d31c8937e23ea1dddc82dd1971485.png] است. احتمال شرطی [عکس: 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png] در حالی که [عکس: 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png] داده شده باشد، *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* تقسیم احتمال غیر شرطی *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* [عکس: 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png] و [عکس: 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png]، و *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* غیر شرطی [عکس: 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png] است.
[عکس: 39379ef8901df088e6b6579f57395bb6.png]
استقلال :
[عکس: 250239%20(18).jpg]
مثال :
فرض کنید جعبه ای شامل 10 لامپ می باشد که دربین آن ها 4 لامپ معیوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری استخراج می کنیم . احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند چقدر است ؟
حل :
[عکس: 250239%20(19).jpg]
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط hooriaty ، Harika ، Roya-A ، MaN!a ، _narjes ، hadi ، health_sa ، maryam.raz
#5
قانون احتمال کل:
گاهی محاسبه احتمال شرطی پیشامد A راحت تر از محاسبه مستقیم احتمال پیشامد A است. با استفاده از فرمول احتمال شرطی داریم:
[عکس: 7f9c3c5fcb28ecfac03e3022c2a0a17d.png]

یا در حالت کلی اگر [عکس: 6c1634ce4903c08822d094dfca3268f2.png] که در آن [عکس: 5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png] مجموعه مرجع است و [عکس: 639af0814f186af705e601f1f52a9516.png] (مجموعه‌ها جدا از هم هستند و مجموعه مرجع را افراز می‌کنند.)
[عکس: 3d63fd920883f464f70ba9803a247017.png]
مثال: فرض می کنیم به ترتیب 30% و 50% و 20% محصولات یک تولیدی بوسیله ی سه دستگاه A ، B وC تولید می شود . از طرفی معلوم شده است که به ترتیب 4% ، 5% و 3% این تولیدات ناقص می باشد . اگر محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چقدر است ؟
حل :
[عکس: 250239%20(25).jpg]


احتمال پیشامد خراب بودن : p(D)

اکنون ممکن است این سئوال را مطرح کنیم : احتمال آن که محصول انتخابی معیوب باشد و توسط دستگاه B تولید شده باشد چقدر است ؟
دراین حالت در حقیقت می خواهیم p(B|D) را مورد نظر قرار دهیم دراین حالت از قضیه ی موسوم به قضیه بیز استفاده می کنی

قضيه بيز:

فرض می‌کنیم [عکس: a5f6f267f08527ffc89dd4ee957dddc1.png] یک *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* برای *شما قادر به دیدن لینک ها نیستید ثبت نام کنید یا وارد حساب خود شوید تا بتوانید لینک ها را ببینید* [عکس: 5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png] تشکیل دهند. طوری که به ازای هر [عکس: f4e02b1641d095377e26c53509b99ff9.png]، داشته باشیم [عکس: 165ff9d48f819dbd27c849d0462ea4c3.png] و فرض کنید [عکس: 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png] پیشامدی با فرض [عکس: e6eee36eaf8b608d2221187216065c4b.png] باشد، در اینصورت به ازای [عکس: 79204401f1c627fc95010a0f00900653.png]، داریم:
[عکس: e0e0ce53bf1c20cbafdbda46f1f8ea53.png]

مثال :

1- برای مثال قبل مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف انتخاب می شود و معیوب است ، متعلق به دستگاه C باشد .

حل :

[عکس: 250239%20(27).jpg]

2- فرض کنید می دانیم80% دانشجویان سال سوم و70% دانشجویان سال دوم و50% دانشجویان سال اول و30% دانشجویان پیش دانشگاهی ازکتابخانه استفاده می کنند. اگرازهمه ی دانشجویان 30% پیش دانشگاهی ، 25% سال اول ، 25% سال دوم و20% سال سوم باشند ، در اینصورت چند درصد همه ی دانشجویان از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کنند ؟

حل :
دانشجویی که به تصادف انتخاب می شود و از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کند :A
پیش دانشگاهی : F
سال اول :O
سال دوم :J
سال سوم :E
[عکس: 250239%20(28).jpg]
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط Harika ، Roya-A ، MaN!a ، _narjes ، nazeri ، hadi
#6
اصل جمع
اگر یک عمل به m طریق و عمل دیگر به n طریق انجام شود ، در این صورت یکی از دو عمل را می توان به m+n طریق انجام داد .
بیان ریاضی اصل جمع : فرض کنید مجموعه A دارای n عضور و مجموعه B دارای m عضو باشد .انگاه اگر اشتراك A وB برابر تهي شود انگاه اشتراكA وB برابرm+n ميباشد
تعمیم اصل جمع
[عکس: 250239%20(30).jpg]
اصل ضرب
برای احتمال اشتراک دو پیشامد [عکس: 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png] و [عکس: 9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png] می‌توان نوشت:
[عکس: 9e168c9112e06ac47b11fef388957692.png]
در حالت کلی قاعده ضرب به صورت زیر بیان می شود:
[عکس: 0887231783fdb55bb2faa94ce7514aee.png]
اثبات: برای اثبات قاعده ضرب تعریف احتمال شرطی را در طرف راست رابطه می نویسیم
[عکس: ead978fe719e8ece8c5925ff27b94072.png]
فرض کنید عملی در دو مرحله انجام می پذیرد . به طوری که مرحله اول را به n1 صورت و مرحله دوم به n2 صورت انجام داد . در این صورت آن عمل به n1*n2 صورت امکان می پذیرد .همین طور می توان اصل ضرب را تعمیم داد و بیان کرد : اگر عملی در k مرحله انجام شود ، به طوریکه مرحله اول n1 صورت و ... و مرحله k ام nk صورت انجام شود در این صورت این عمل بهn1*n2*….*nk صورت انجام می گیرد .
مثال 1
برای انتخاب دو کتاب از دو رشته مختلف از بین 6 کتاب ریاضی ، 7 کتاب ادبی ، 12 کتاب فلسفی انتخاب می کنیم . چند انتخاب متفاوت خواهیم داشت ؟
حل :
کتاب ها ممکن است به صورت های: الف. ریاضی وادبی ب. ریاضی و فلسفی ج. ادبی و فلسفی باشند ، که با توجه به بیان اصل ضرب خواهیم داشت :

الف. ریاضی و ادبی 42=7×6
ب. ریاضی و فلسفی 72=12×6
ج. ادبی و فلسفی 84=12×7
و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برابر است با : 198=84+72+42
مثال 2
در ظرفی 52 توپ از 4 رنگ مختلف (آبی،قرمز،سبز،سفید) که هر یک با شماره های 1 تا 13 مشخص شده اند وجود دارد.این توپ ها را به تصادف بین 4 نفر تقسیم می کنیم.احتمال این که هر یک از 4 نفر توپ شماره1 را دریافت نمایند چقدر است؟
جواب: ابتدا پیشامدهای زیر را تعریف می کنیم:
[عکس: cd6c5fa312327dca33de3b38e475deba.png] ={توپ شماره 1 آبی نزد یکی از افراد باشد}
[عکس: 9894e1782026d63bc5aa51469b293595.png] ={توپ شماره 1 آبی و توپ شماره1 قرمز نزد دو نفر متفاوت باشند}
[عکس: 136556aa3cbc4f90df869df6ed62c2e4.png] ={توپ شماره 1 آبی،توپ شماره 1 قرمز و توپ شماره1 سبز نزد افراد متفاوتی باشند}
[عکس: 70b8a834f19d192a316fcc8d4216eb51.png] ={همه توپهای با شماره یک نزد افراد متفاوت باشند}
احتمال مورد نظر برابر است با:
[عکس: e5141f68690ba4a0110c121725a2fad7.png]
E[sub]1[/sub] فضای نمونه آزمایش است و از طرفی فردی که توپ شماره 1 آبی را داشته باشد 12 توپ از 51 توپ دیگر را خواهد داشت بنابراین
[عکس: 4d3b4edf336e8756048f6e049520b02e.png]
[عکس: 01b459426d836f3295bc1af02b590b41.png]
هم چنین افرادی که توپ شماره 1 آبی و توپ شماره 1 قرمز را داشته باشند 24 توپ دیگر از 50 توپ باقی مانده را خواهند داشت. بنابراین
[عکس: 65ebf25c03d525291b1976c43cefc314.png]
و در پایان
[عکس: 4f96fe408dcbf33c8c0a6911f4123e4e.png]

بنابراین احتمال این که هر فرد دقیقا یک توپ با شماره 1داشته باشد برابر است با
[عکس: 7a950ac00bac97c90e1b1cfdd0f9402c.png]

مثال 3


تاسی را پرتاب می‌کنیم و مشاهده می‌کنیم که عدد رو آمده زوج است. احتمال رو آمدن 2 چقدر است؟
جواب: عدد رو آمده را متغیر X تعریف کنید[عکس: b714fe0ab01cf3c5502d09d94944a382.png] اگر هیچ اطلاعی از پرتاب در دسترس نبود، احتمال رو آمدن عدد 2 مانند هر عدد دیگری 6/1 بود ولی اکنون میدانیم که عدد رو آمده فرد نیست پس احتمال روآمدن اعداد 1و3و5 برابر صفر است. احتمال رو آمدن سایر اعداد نیز باید در عددی ثابت ضرب شوند که مجموع احتمال یک شود. این عدد معکوس جمع احتمال رو آمدن 2و4و6 در حالت عادی(عدم اطلاع از پرتاب) یعنی 2=(1-)^(1/3+1/3+1/3) است پس احتمال رو آمدن عدد 2 به صورت بالا محاسبه میشود.اگر بخواهیم مثال فوق را از طریق فرمول احتمال
شرطی حل کنیم داریم:
[عکس: 205766ea03586010e0911e2e723563a3.png] و [عکس: f6e87f0dec0b51fc0e74ca90767208d9.png] که احتمال مورد نظر 3/1 است.

مثال 4
وقتی دو تاس را پرتاب می کنیم 36 نتیجه ی حاصل از پرتاب آن ها دارای شانس برابر هستند، و احتمال وقوع برای هر یک برابر با 1/36 است. حال فرض کنید یکی ار تاس ها را پرتاب کرده و نتیجه برابر 3 شده است. حال می خواهیم احتمال این را محاسبه کنیم که مجموع دو تاس برابر با 8 باشد!
در این حالت اگر نتیجه تاس اول برابر با 3 باشد،حداکثر 6 نتیجه ممکن برای این آزمایش وجوددارد: {(6و3) ، (5و3) ، (4و3) ، (3و3) ، (2و3) ، (1و3)} از طرفی چون احتمال وقوع هر یک از پیشامدهای بالا یکسان است پس این نتایج هم شانس هستند و می توان گفت احتمال هر یک برابر است با 1/6. از طرفی احتمال وقوع 30 نتیجه ی دیگر فضای نمونه برابر با صفر می باشد. حال همان گونه که می بینیم زمانی که تاس اول برابر با3 باشد احتمال این که مجموع برابر با 8 باشد برابر است با 1/6 . اگر A و B به ترتیب نشان دهنده ی مجموع دو تاس 8 و نتیجه ی تاس اول برابر با 3
باشند، آنگاه احتمال محاسبه شده عبارت است از
احتمال وقوع A به شرط B و با نماد زیر نوشته می شود: [عکس: 33690e97dbeaa68d615e68dba167db2a.png]
یک رابطه ی دیگر هم برای محاسبه ی این احتمال شرطی می توان بدست آورد. می دانیم زمانی که B اتفاق بیافتد بدین معناست که فضای نمونه ی ما به مجموعه ی B کاهش یافته است. همچنین می دانیم برای این که A اتفاق بیافتد لازم است که نتیجه ی واقعی نقطهای از A و B باشد یعنی باید در [عکس: fbd0dfa8f015d48acfe4570aa6babc6a.png] باشد که می توان این توضیحات را به صورت زیر با نماد ریاضی مطرح نمود: اگر P(B)>0 باشد آنگاه
[عکس: 8694e4193ba45b55403595096b7d23c5.png]
بودنش عادتی است عین نفس کشیدن!
"""""خدا را میگویم"""""""
همیشه همراهت .......
 سپاس شده توسط Harika ، Roya-A ، MaN!a ، موحديان ، amd196 ، nazeri ، hadi ، health_sa
#7
سلام و خسته نباشيد
سوالي از خدمتتان دارم ممنون مي شوم راهنماييم نماييد:
فرض كنيد محقق A براي تعيين فشار خون مردان يك شهر 100 نمونه و محقق B براي همين كار 900 نمونه انتخاب نمايد. اگر هر دو نمونه گيري به صورت تصادفي ساده انجام شود و تورش در كار نباشد . فاصله اطمينان 95 درصد كه محقق A براي ميانگين خود به دست مي دهد تقريبا چند برابر حدود اطمينان اعلام شده توسط محقق B است؟ ( انحراف معيار صفت را برابر 2 بگيريد)
سوال: حدود اطمينان مگر همان فاصله اطمينان نيست؟Dodgy
ممنون مي شوم راهنمايي نماييد . تشكر
#8
چرا تصاویر نمایش داده نمیشه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
#9
خب تصاویرو نمایش نمیده!!!!!!!!!Sad
منتقدان من، اگر من را ببینند که دارم بر روی اب رودخانه تایمز راه میروم ؛خواهند گفت: دلیلش این است که شنا بلد نیست !

مارگارت تاچر
#10
سلام چرا تصاویر لود نمیشه


موضوعات مشابه ...
موضوع
Tongue مطالعه گروهی درس مدیریت
  سولات مورد اعتراض انفورماتیک 93
Star خلاصه کتاب " مدیریت سیستم های اطلاعات مراقبت بهداشتی " وگر
  مطالعه گروهي برنامه نويسي و ساختمان داده كنكور انفورماتيك
Star خلاصه کتاب " مدیریت اطلاعات بهداشتی " ابدالهاک " فرخنده اسدی،مریم احمدی "
Star خلاصه کتاب " داده پردازی بهداشتی " دکتر مقدسی
  خلاصه ریاضی:کنکور انفورماتیک92
Star خلاصه کتاب " کیفیت اطلاعات در مراقبت بهداشتی " : دکتر حمید مقدسی
Star خلاصه کتاب " مدیریت اطلاعات بهداشتی " مرجان قاضی سعیدی و رضا صفدری
  انفورماتیک پزشکی و بیو انفورماتیک



کاربران در حال بازدید این موضوع: 1 مهمان